TUGAS UAS KELOMPOK MULTIVARIATE DATA ANALYSIS : MULTIVARIATE ANALYSIS OF VARIANCE (MANOVA)

MULTIVARIATE ANALYSIS OF VARIANCE (MANOVA)

MANOVA merupakan multivariat perluasan dari konsep dan teknik univariate ANOVA yang digunakan untuk menganalisis perbedaan antara rata-rata (mean) kelompok. Perbedaan antara ANOVA dengan MANOVA yaitu ANOVA (Analysis of Variance) adalah bagian dari prosedur satistika yang digunakan untuk menganalisis perbedaan mean dari beberapa populasi dengan menggunakan data yang diperoleh yang diambil dari populasi yang diamati. Pengujian ANOVA hanya melibatkan satu variabel dependen metrik dengan variabel independen non metrik. Sedangkan MANOVA menguji dua atau lebih variabel dependen metrik dengan variabel independen non metrik.

ANOVA

                                                

                                                (metric)                        (Non Metric)

MANOVA

                                    

                                                (metric)                                    (Non Metric)

Pada kasus univariat, ukuran variabel dependen tunggal diuji untuk kesamaan diantara kelompok.  Di analisis MANOVA, peneliti sebenarnya mempunyai dua variate, satu untuk variabel dependen dan yang lain variabel independen. Variabel-variabel dependen lebih menarik karena ukuran dependen metrik dapat dikombinasikan pada satu kombinasi linier, seperti pada regresi berganda dan analisis diskriminan. Aspek unik dari MANOVA adalah variate secara optimal mengkombinasikan ukuran multiple dependen ke dalam nilai tunggal yang memaksimalkan perbedaan antar kelompok.

Prosedur Univariate

•         t test

–        Untuk menguji perbedaan antara dua kelompok

–        t-statistik merupakan rasio dari perbedaan antara mean sampel (u1 – u2) terhadap standar errornya. Standar error merupakan estimasi perbedaan antara mean yang diharapkan karena kesalahan sampel, bukan perbedaan sesungguhnya antara mean.

–        Jika nilai absolut t lebih besar dari nilai kritis t, maka kita dapat menolak Ho yang mengatakan tidak ada perbedaan. Hal ini berarti perbedaan aktual secara statistik lebih besar dari perbedaan yang diharapkan dari kesalahan sampel.

•         Analysis of Variance (ANOVA)

–        Untuk menguji perbedaan antara tiga kelompok atau lebih terhadap dua atau lebih variabel independen menggunakan uji F

–        ANOVA digunakan untuk menentukan probabilitas bahwa perbedaan dalam mean antar beberapa kelompok adalah berdasarkan kesalahan sampe.

–        Pengujian ANOVA secara langsung membandingkan dua estimasi independen dari variance  untuk variabel dependen. Yang pertama mewakili variabilitas umum dari responden dalam kelompok (MS_W) dan yang lainnya mewakili perbedaan antar kelompok yang mempunyai pengaruh treatment (MS_B).

Prosedur MANOVA

•         Jika pada t test dan  ANOVA, pengujian hipotesis nol adalah kesamaan mean dari variable dependen antar kelompok. Pada MANOVA pengujian hipotesis nol adalah kesamaan mean dari vector multiple variable dependen antar kelompok

•         The Two-Group Case:   Hotelling's T² bentuk yang merupakan perluasan khusus dari univariate t test.Hotelling’s T² menyediakan pengujian statistik  variabel yang dibentuk dari variabel dependen yang menghasilkan perbedaan kelompok terbesar. Hotelling’s T² juga digunakan untuk masalah “inflating” jenis kesalahan I yang timbul ketika membuat serangkaian t test mean kelompok pada beberapa ukuran dependen. Hal ini mengendalikan inflasi dari jenis kesalahan I dengan menyediakan pengujian keseluruhan secara tunggal dari perbedaan kelompok diantara semua variabel dependen pada level a yang ditetapkan.

Hotelling’s T²

C = W₁ Y₁  +W₂ Y₂ + ...... + W_i Y_i

Dimana :

C   =  komposit atau skor variate untuk responden

W _i = bobot untuk variabel dependen i

Y _i  = variabel dependen i      

Untuk bobot tertentu, kita harus menghitung skor komposit untuk setiap responden dan kemudian menghitung t statistik biasa untuk perbedaan antar kelompok atas skor komposit. Kita dapat menemukan serangkaian bobot yang memberi nilai maksimum untuk t statistik bagi data ini.

Bobot ini dapat sama dengan fungsi diskriminan antar dua kelompok. Nilai t  statistik maksimum yang dihasilkan dari skor komposit yang dihasilkan oleh fungsi diskriminan di kuadratkan untuk menghasilkan nilai Hotelling’s T². Perhitungan formula Hotelling’s T² mewakili hasil derivasi matematika yang digunakan untuk menyelesaikan t statistik maksimum (dan secara implisit diskriminasi kombinasi linear terhadap variabel dependen). Hal ini sama dengan jika kita dapat menemukan fungsi diskriminan untuk dua kelompok yang menghasilkan T² yang signifikan, kedua kelompok dipertimbangkan berbeda diantara mean vektor.         

Nilai kritis bagi Hotelling’s T²           

                                      p(N₁+N₂-2)

                        T_2crit = ----------------- x F_crit

                                      N₁+N₂- p - 1

The k-Group Case:   MANOVA

Manova dapat dianggap sebagai perluasan dari prosedur Hotelling’s T² dimana kita menemukan bobot variabel dependen untuk menghasilkan skor variate bagi setiap responden.

Dengan MANOVA kita akan mendapatkan seperangkat bobot yang memaksimumkan nilai F hitung ANOVA atas skor variate bagi seluruh kelompok. Namun MANOVA juga dianggap sebagai perluasan dari analisis diskriminan dengan multiple variate ukuran dependen yang dapat dibentuk jika jumlah kelompok tiga atau lebih. Variate yang pertama disebut fungsi diskriminan, menspesifikasi seperangkat bobot yang memaksimalkan perbedaan antar kelompok sehingga akan memaksimumkan nilai.

•         Nilai maksimum F sendiri memungkinkan kita untuk menghitung secara langsung apa yang disebut Roy’s greatest characteristic root (gcr) statistik yang memungkinkan untuk pengujian statistik atas fungsi diskriminan pertama. Roy’s greatest characteristic root (gcr) statistik dapat dihitung sebagai :

Roy’s gcr = ( k – 1 ) F_max / ( N – k ).

•         Untuk mendapatkan pengujian tunggal terhadap hipotesis dari perbedaan yang tidak ada antar kelompok pada vektor pertama dari skor mean, kita dapat mengacu pada tabel distribusi gcr. Sama halnya dengan statistik F mengikuti distribusi yang diketahui atas hipotesis nol dari kesamaan mean kelompok atas variabel dependen tunggal, gcr statistik mengikuti distribusi yang diketahui atas hipotesis nol dari kesamaan mean vector kelompok (mean kelompok sama dengan seperangkat ukuran dependen). Perbandingan gcr yang diobservasi dan gcr_crit memberi kita dasar untuk menolak seluruh hipotesis nol dari kesamaan mean vektor kelompok.

•         Fungsi diskriminan selanjutnya adalah orthogonal, yang memaksimalkan perbedaan antar kelompok berdasarkan varians sisa yang tidak dijelaskan oleh fungsi sebelumnya. Dengan demikian dalam beberapa hal pengujian untuk perbedaan antar kelompok melibatkan tidak hanya skor variate pertama tetapi juga seperangkat skor variate yang dievaluasi secara simultan. Sejumlah pengujian multivariate (Wilks’ lambda, Pillai’s criterion) yang masing-masingnya tepat untuk situasi terhadap pengujian multiple variate.

Hubungan Antara Prosedur Univariate Dan Multivarate

MANOVA dan Discriminant Analysis

•         MANOVA dan Discriminant Analysis merupakan suatu hubungan seperti gambar dalam cermin dimana variabel dependen dalam MANOVA (variabel metrik) merupakan independen variabel dalam Discriminant Analysis dan variabel dependen nonmetrik tunggal dalam Discriminant Analysis menjadi variabel independen dalam MANOVA. Lebih lagi keduanya menggunakan metode yang sama dalam membentuk variate dan menguji signifikansi statistik antar kelompok.

•         Perbedaan intinya adalah pada tujuan analisis dan peran dari variabel nonmetrik. Discriminant Analysis menggunakan variabel nonmetrik tunggal sebagai variabel dependen. Kategori variabel dependen diasumsikan given dan variabel independen digunakan untuk membentuk variate yang memaksimalkan perbedaan antar kelompok yang dibentuk oleh variabel dependen kategori. Pada MANOVA seperangkat variabel metrik bertindak sebagai variabel dependen dan tujuan untuk menemukan kelompok reponden yang menampilkan perbedaan pada perangkat variabel dependen.

•         Kelompok responden tidak dispesifikasikan sebelumnya, peneliti menggunakan satu atau lebih variabel independen non metrik untuk membentuk kelompok. MANOVA selain dapat membentuk kelompok tersebut tetap memiliki kemampuan untuk menganalisis pengaruh setiap variabel non metrik secara terpisah.

Kapan seharusnya menggunakan MANOVA?

•         Karena kemampuannya untuk menganalisis beberapa pengukuran dependen secara simultan, MANOVA memiliki keunggulan:

–        Menyediakan Kontrol tingkat kesalahan eksperimen ketika terjadi beberapa derajat inter-korelasi diantara variabel dependen.

–        Menyediakan statistik yang lebih kuat dari ANOVA ketika jumlah variabel dependen 5 atau kurang.

Tahapan dalam MANOVA :

Tahap 1:  Tujuan MANOVA

–        Untuk menganalisis hubungan dependensi yang diwakili sebagai perbedaan dalam seperangkat ukuran dependen lintas seri kelompok yang dibentuk oleh satu atau lebih ukuran independent kategorial.

–        Untuk menyediakan pengertian yang mendalam mengenai sifat dan kekuatan sifat prediksi dari ukuran independen seperti juga keterkaitan dan perbedaan dalam ukuran multiple dependen.

Terdapat 3 kategori permasalahan klasifikasi multivariate dilihat dari aspek penerapn MANOVA, yaitu :

•         Multiple Univariate Questions.

Peneliti yang mempelajari pertanyaan-pertanyaan multiple univariate mengidentifikasi sejumlah variabel dependen secara terpisah yang akan dianalisis secara terpisah tetapi memerlukan beberapa kontrol terhadap kesalahan eksperimen. Dalam kejadian ini, MANOVA digunakan untuk menguji apakah perbedaan menyeluruh ditemukan di antara kelompok, dan kemudian pengujian univariate yang terpisah dilakukan untuk mendapatkan setiap isu untuk masing-masing variabel dependen.

•         Structured Multivariate Questions.

Peneliti berurusan dengan pertanyaan multivariat terstruktur yang dikumpukan dari dua atau lebih ukuran dependen yang saling memiliki hubungan khusus. Situasi yang umum dalam kategori ini adalah ukuran yang berulang dimana ada multiple respon dari setiap subyek yang mungkin selama atau setelah pre test-post test memberikan stimulus, mislanya seperti iklan. Disini MANOVA menyediakan metode terstruktur untuk menspesifikasi perbandingan perbedaan antar kelompok terhadap seperangkat ukuran dependen dalam menjaga efisiensi secara statistik.

•         Intrinsically Multivariate Questions.

Pertanyaan ini meliputi sejumlah ukuran dependen dimana mempertimbangkan prinsip bagaimana mereka berbeda sebagai keseluruhan lintas kelompok. Perbedaan ukuran dependen secara individual kurang menarik dibandingkan pengaruh kolektif. Keunggulan MANOVA tidak hanya dapat menguji perbedaan keseluruhan tetapi juga perbedaan antara kombinasi dari ukuran dependen yang tidak dapat muncul. Jenis pertanyaan ini bisa diselesaikan oleh MANOVA karena kemampuannya mendeteksi perbedaan multivariate walaupun pengujian univariate tunggal tidak menunjukkan perbedaan.

Tahap 2:  Disain Riset MANOVA

-       Membutuhkan ukuran sampel yang lebih besar dibandingkan univariate ANOVA dan harus melebihi batasan khusus pada setiap sel (kelompok). Analisis yang direkomendasikan adalah minimal ukuran sel 20 observasi. Sampel pada setiap sel harus lebih besar dari jumlah variabel dependen.

-       Desain Faktorial  – Analisis dengan dua treatment atau lebih.

Pemilihan Treatments, penggunaan yang umum dari disain faktorial meliputi pertanyaan riset yang berhubungan dengan dua atau lebih variabel independen nonmetrik terhadap seperangkat variabel dependen. Dalam masalah ini variabel independen dispesifikasikan dalam desain eksperimen atau termasuk dalam desain eksperimen lapangan atau survey menggunakan kuesioner. Namun dalam beberapa hal treatment ditambahkan setelah desain analisis.

Treatment tambahan yang sering digunakan adalah blocking factor dimana karakteristik nonmetrik digunakan post hoc untuk segmentasi responden untuk mendapatkan homogenitas kelompok yang lebih besar dan mengurangi sumber varians MSW. Dengan demikian kemampuan uji statistik untuk mengidentifikasi perbedaan dapat ditingkatkan. Sebagai contoh misalnya pada iklan, sebelumnya laki-laki dianggap akan mempunyai reaksi yang berbeda dengan perempuan terhadap tampilan iklan dan jika gender ditambahkan sebagai blocking factor, perbedaan setiap pesan menjadi lebih jelas, sedangkan perbedaan akan menjadi samar jika laki-laki dan perempuan di asumsikan akan bereaksi dengan berbeda dan tidak terpisah. Pengaruh jenis pesan dan gender kemudian di evaluasi secara terpisah, menyediakan pengujian yang lebih tepat terhadap pengaruh individual.

Menggunakan covariate-ANCOVA dan MANCOVA

•         ANCOVA

Covariate metrik umumnya dimasukkan dalam desain eksperimental untuk menghilangkan pengaruh extraneous dari variabel dependen sehingga dapat meningkatkan varian dalam kelompok (MSW). Hal ini sama dengan mengunakan blocking factor hanya saja variabelnya metrik. Prosedurnya sama dengan regresi linier yang digunakan untuk menghilangkan variasi dalam variabel dependen yang berhubungan dengan satu atau lebih covariate, kemudian ANOVA konvensional dilakukan pada variabel dependen yang disesuaikan.

•         MANCOVA

Merupakan perluasan dari prinsip ANCOVA untuk multivariate analisis (variabel dependen berganda) yaitu MANCOVA dipandang sebagai MANOVA terhadap regresi residual atau varian dalam variabel dependen yang tidak dapat dijelaskan oleh covariate

Tujuan dari Covariance Analysis

•         Untuk mengeliminasi pengaruh:

–        Yang hanya mempengaruhi sebagian responden  atau

–        Yang bervariasi antar responden

•         Sama halnya dalam menggunakan blocking factor, covariates dapat mencapai dua tujuan khusus yaitu:

–        Mengeliminasi beberapa sistematis error diluar kontrol dari peneliti yang dapat membuat hasilnya menjadi bias, dan

–        Mengakomodasi perbedaan respon terkait karakteristik unik dari responden.

Tahap 3:  Asumsi ANOVA dan MANOVA

•         Untuk prosedur pengujian multivariat menggunakan MANOVA menjadi valid, maka harus memenuhi 3 asumsi yaitu :

1.      Observasi harus independen

2.      Matriks varians-kovarians harus sama (atau dapat diperbandingkan) untuk setiap kelompok treatment.

3.      Variabel dependen harus memiliki distribusi normal multivariat.

•         Normalitas multivariat dapat diasumsikan tetapi sulit dalam pengujian. Normalitas univariat tidak menjamin normalitas multivariat, namun jika seluruh variabel memenuhi normalitas univariat maka kemencengan dari normalitas multivariat tidak konsekuensial. Kriteria lainnya adalah Linearitas dan multikollinearitas diantara variabel dependen serta sensitivitas terhadap outliers.

Tahap 4:  Estimasi Model MANOVA dan Menguji Overall Fit

•         Saat analisis MANOVA telah diformulasikan dan uji asumsi telah terpenuhi, pengujian terhadap signifikansi perbedaan antar kelompok yang dibentuk dengan treatment dapat dilakukan. Dalam melakukan pengujian ini peneliti harus memilih pengujian statistik yang tepat untuk tujuan penelitiannya. Namun dalam situasi tertentu khususnya jika analisis menjadi lebih kompleks, peneliti harus mengevaluasi kekuatan dari pengujian statistik untuk menyediakan perspektif yang lebih informatif dan memperoleh hasil yang diharapkan.

•         Empat pengukuran yang banyak digunakan untuk menguji signifikansi secara statistik antar kelompok terhadap variabel independen adalah:

–        Roy’s Greatest Characteristic Root

–        Wilk’s Lambda

–        Pillai’s Criterion

–        Hotelling’s Trace

•         Dalam beberapa situasi hasil/kesimpulan bisa sama antar keempat pengukuran, namun dalam situasi yang unik, hasil dapat berbeda diantara keempat pengukuran.

Tahap 5:  Interpretasi Hasil MANOVA

•         Jika covariate termasuk dalam model GLM, maka lakukan analisis model baik dengan maupun tanpa covariates. Jika covariates tidak meningkatkan kekuatan statistik atau tidak mempengaruhi secara signifikan terhadap pengaruh treatment, maka dapat didrop dari analisis final.

•         Jika dua atau lebih variabel independen (treatments) termasuk dalam analisis, interaksi harus diuji sebelum mengambil kesimpulan mengenai pengaruh utama dari variabel independen :

a.       Jika interaksi tidak signifikan secara statistik, maka pengaruh utama dapat diinterpretasi langsung karena perbedaan antar treatments dipertimbangkan konstan antar level kombinasi.

b.      Jika interaksi signifikan secara statistik, dan perbedaan tidak konstan antar level kombinasi, maka interaksi harus ditentukan apakah ordinal atau disordinal:

•         Jika variabel independen memiliki dua atau lebih kelompok, dua jenis prosedur dapat digunakan untuk mengisolasi sumber perbedaan yaitu :

a.       Post Hoc Methods

Post-hoc tests, menguji perbedaan potensial secara statistik antar seluruh mean kombinasi yang mungkin.  Post-hoc tests memiliki kekuatan yang terbatas dan sangat cocok untuk mengidentifikasi pengaruh yang besar. Post Hoc Methods meliputi :

▪         Scheffe

▪         Tukey’s honestly significant difference (HSD)

▪         Tukey’s extension of the Fisher least significant difference  (LSD)

▪         Duncan’s multiple-range test

▪         Newman-Kuels test

b.      A Priori or  Planned comparisons

Adalah prosedur yang tepat digunakan jika a priori theoretical reasons menyatakan bahwa kelompok tertentu akan berbeda dari satu kelompok dengan kelompok lainnya.  Kesalahan Type I akan bertambah sebagaimana jumlah planned comparisons meningkat.

Tahap 6:  Validasi terhadap Hasil

-          Teknik analisis varian (ANOVA dan MANOVA) dikembangkan untuk situasi eksperimen, dengan replikasi sebagai pengertian utama terhadap validasi. Ketegasan perlakuan treatment eksperimen  memungkinkan penggunaan yang luas dari eksperimen yang sama pada multiple populasi untuk menguji generalizability dari hasil.

-          Dalam penelitian ilmu pengetahuan sosial dan bisnis, bagaimanapun, eksperimen kerap kali digantikan dengan uji statistik dengan keadaan nonexperimental seperti survey penelitian. Kemampuan untuk memvalidasi hasil dalam keadaan ini adalah berdasarkan kemampuan replikasi dari treatment.